Límites e infinito

Cota 

Es un número que es mayor o menor que cualquier elemento de un conjunto. 

Los límites en el infinito se presentan como casos especiales en los cuales la función crece o decrece sin cota cuando x se aproxima a un valor dado. para determinar estos límites se divide el numerador y el denominador de la función racional entre el grado mayor del polinomio. 

A partir de este proceso se pueden dar los siguientes casos: 

• $$\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \quad \frac { p(x) }{ Q(x) } =\quad \pm \infty $$

Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x) 

• $$\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \quad \frac { p(x) }{ Q(x) } =\quad 0$$

Si el grado P(x) es menor que el grado de Q(x). 

• $$\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \quad \frac { p(x) }{ Q(x) } =\quad \frac { m }{ n }$$ 

Si el grado de P(x) es igual al grado de Q(x). 

Estos límites se usan para calcular asintotas horizontales.

Ejemplo:

 Calcular los límites en cada caso 

• $$\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \quad \frac { 2{ x }^{ 2 }+3x }{ { x }^{ 2 }-4 } =\\ \\ \underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \quad \frac { \cfrac { 2{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } +\cfrac { 3x }{ { x }^{ 2 } } }{ \cfrac { { x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } -\cfrac { 4 }{ { x }^{ 2 } } } =\\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { 2 }{ 1 } =2$$

• $$\underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \quad \frac { 6{ x }^{ 2 }-2 }{ \sqrt { { 3x }^{ 4 }+2 } } =\\ \\ \underset { x\rightarrow \infty }{ lim } \quad \frac { \cfrac { 6{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } -\cfrac { 2 }{ { x }^{ 2 } } }{ \sqrt { \cfrac { { 3x }^{ 4 } }{ { x }^{ 4 } } -\cfrac { 2 }{ { x }^{ 4 } } } } =\\ \\ -\frac { 6 }{ \sqrt { 3 } } \cdot \frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } } \cdot \frac { 6\sqrt { 3 } }{ 3 } =\quad \\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2\sqrt { 3 } $$

 Ejercicios:

• $$f(x)=\frac { 3x }{ 4-{ x }^{ 2 } } $$

$$Dom\quad R\quad \left\{ −{ 2,−2 } \right\} \quad \quad 4−{ x }^{ 2 }\quad ≠0\quad \\ (2−x)\quad \quad (2+x)\quad ≠\quad 0\quad \\ 2\quad ≠\quad x\quad \quad \quad \quad x\quad ≠\quad −2$$

$$\underset { x\rightarrow { -2 }^{ - } }{ lim } \quad \frac { 3x }{ (2-x)(2+x) } =\quad +\infty$$

$$\underset { x\rightarrow { -2 }^{ + } }{ lim } \quad \frac { 3x }{ (2-x)(2+x) } =\quad -\infty $$
$$\underset { x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ lim } \quad \frac { 3x }{ (2-x)(2+x) } =\quad +\infty $$
$$\underset { x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ lim } \quad \frac { 3x }{ (2-x)(2+x) } =\quad -\infty $$
$$\underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } \quad \frac { 3x }{ 4-{ x }^{ 2 } } $$
$$\frac { \cfrac { 3x }{ { x }^{ 2 } }  }{ \cfrac { 4 }{ { x }^{ 2 } } -\cfrac { { x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } }  } =\quad \frac { 0 }{ 1 } =\quad 0$$
$$\underset { x\rightarrow -\infty  }{ lim } \quad \frac { 3x }{ (2-x)(2+x) } =\quad +$$
$$\underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } \quad \frac { 3x }{ (2-x)(2+x) } =\quad -$$

• dada la gráfica de y = f(x) que se muestra a continuación, determina limite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha

A medida que los valores d x se acercan más y más a 2 por la derecha, es decir, con valores de x mayores que 2, la gráfica muestra que los valores de f(x) se acercan más y más a -4 por lo tanto, limite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es igual a -4

• Determina las ecuaciones de todas las asíntotas verticales de la gráfica de y=lnx.

Elige todas las opciones correctas.

• x=-1 
•  x=0 
•  x=1 
•  x=e 
• Ninguna de las anteriores.

• Podríamos abordar esto analíticamente viendo el comportamiento de la gráfica cuando x tiende a 0 con valores de x mayores que 0.

• Podríamos abordar esto analíticamente al notar primero que el dominio de la función logaritmo natural es toda x > 0 

• Esto significa que x = 0 es el único candidato para una asíntota vertical.

• $$Como\quad \lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ lnx=\quad -\infty ,\quad. }$$ Podemos concluir que x=0 es la única asíntota vertical de la gráfica de y= f(x).