Derivada

Derivada

la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

La derivada de una función (F) en un número (a), denotada como (f'(a)), es:
$$f'(a)=\quad \underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+b)-f(a) }{ h } $$
Si este límite existe.

Si escribimos x=a+h, entonces (h= x-a y h) tiende a (0) y solo si (x) tiende a (a), por tanto una manera equivalente de enunciar la definición de la derivada, como vimos al hallar la recta tangente, es:

$$f'(a)=\quad \underset { x\rightarrow a }{ lim } \frac { f(x)-f(a) }{ x-a } $$

                           Escriba la derivada de:

• $$f(x)=\quad { x }^{ 2 }-8x+9$$

$$\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(a+b)-f(a) }{ h } $$$$f(a+b)=\quad { (a+b) }^{ 2 }-8(a+h)+9$$$$=\quad { a }^{ 2 }+2ah+{ h }^{ 2 }-8a-8h+9$$$$f(a)=\quad { a }^{ 2 }-8+9$$$$f'(x)=\quad \underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { a }^{ 2 }+2ah+{ h }^{ 2 }-8a-8h+9-{ a }^{ 2 }+8-9 }{ h } $$$$\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } =\quad \frac { h(2a+h-8) }{ h } =\quad 2a-8$$

• $$f(x)=\quad 3-2x+4{ x }^{ 2 }$$

$$f(a+h)=\quad { 3-2(a+h)+4(a+h) }^{ 2 }$$$$=\quad { 3-2a-2h+4(a }^{ 2 }+2ah+{ h }^{ 2 })$$$$=\quad { 3-2a-2h+4a }^{ 2 }+8ah+{ 4h }^{ 2 }$$$$f(a)=\quad { 3-2(a)+4a }^{ 2 }$$$$f'(x)=\quad \underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { 3-2a-2h+4a }^{ 2 }+8ah+{ 4h }^{ 2 }-{ 3+2a+4a }^{ 2 } }{ h } $$$$\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } =\quad \frac { h(-2+8a+4h) }{ h } =\quad -2+89$$

• El desplazamiento de un automóvil en metros en una función del tiempo en segundos, esta dada por la expresión:

$$S(t)=\quad \frac { 2 }{ 3 } t^{ 2 }+t$$

a. Calcule la velocidad media en el intervalo de tiempo ([0,3]).

b. Halle la velocidad instantánea del móvil a los 3 segundos

c. ¿Cuál es la ecuación de la recta que modela la velocidad en un instante?

$$\overline { V } =\quad \frac { S(3)-S(0) }{ 3-0 } $$$$S(3)=\quad \frac { 2 }{ 3 } (3)^{ 2 }+3=\quad 9$$$$S(0)=\quad \frac { 2 }{ 3 } (0)^{ 2 }+0=\quad 0$$$$\overline { V } =\quad \frac { S(3)-S(0) }{ 3-0 } =\quad \frac { 9-0 }{ 3-0 } =\quad 3m/s$$

Velocidad Promedio

$$\overline { V } =\frac { f(x)-f(a) }{ x-a } $$

$$Vinst=\quad \underset { t\rightarrow 3 }{ lim } \frac { f(t)-f(3) }{ t-3 } $$$$Vinst=\quad \underset { t\rightarrow 3 }{ lim } \frac { \cfrac { 2{ t }^{ 2 } }{ 3 } +t-9 }{ t-3 } $$$$Vinst=\quad \underset { t\rightarrow 3 }{ lim } \frac { \cfrac { { 2t }^{ 2 }+3t-27 }{ 3 }  }{ \cfrac { t-3 }{ 1 }  } $$$$Vinst=\quad \underset { t\rightarrow 3 }{ lim } \frac { { 2t }^{ 2 }+3t-27 }{ 3(t-3) }  $$
$$\underset { t\rightarrow 3 }{ lim } \quad \frac { (3t+9)(t-3) }{ 3(t-3) } =\quad 5m/s$$$$(3,9)=$$$$y-{ y }_{ 1 }=\quad m(x-{ x }_{ 1 })$$$$y-9=\quad 5(x-3)$$$$y-5x-15+9$$$$y=\quad 5x-6\quad \rightarrow \quad Ecuación\quad de\quad la\quad recta\quad tangente\quad en\quad t$$

• Suponga que se logra hacer una bola de nieve con forma esférica y que luego se comienza a derretir por efecto del calor 

a. Determine la variación media del volumen para (R) igual a (15 cm), y (R) igual a (5) cm, donde (R) es el radio de la bola de nieve.

b. Halle la variación instantánea del volumen con respecto al radio cuando (R) es igual a  (3 cm)

c. Halle la variación instantánea del radio con respecto al volumen, cuando el volumen es igual a (288 pi cm3)