Límites algebraicos

Frecuentemente intentamos encontrar el límite de una función en un punto donde la función misma no está definida. En esta lección, usaremos álgebra para "transformar" esas funciones en otras en las que los límites sí estén definidos. Ya que las funciones originales y las transformadas son idénticas excepto por el punto límite en cuestión, esta es una manera muy útil de calcular límites.

Para resolver diversos límites algebraicos, tenga en cuenta las propiedades:

Existe una forma más sencilla para calcular límites, la cual se llama sustitución directa.

 Sea F un polinomio o una función racional y a esta en el dominio de F, entonces cuando 

$$\lim _{ x→{ { a } } }{ f(x) } =f(a)$$

Ejemplos:

• $$\lim _{ x→{ { 2 } } }{ f(x) } \quad { x }^{ 2 }+3-5\quad =\quad { 2 }^{ 2 }+3(2)-5\quad =\quad 5$$

• $$\lim _{ x→{ { -1 } } }{ f(x) } \quad \frac { { \begin{matrix} { x }^{ 2 } & 5x \end{matrix} } }{ { \begin{matrix} { x }^{ 4 } & 2 \end{matrix} } } =\frac { \begin{matrix} { (-1) }^{ 2 } & 5(-1) \end{matrix} }{ \begin{matrix} { (-1) }^{ 4 } & +2 \end{matrix} } =\frac { 1-5 }{ 1+2 } =\frac { -4 }{ 3 }$$

• $$\lim _{ x→{ { 1 } } }{ f(x) } \quad { x }^{ 2 }-1\quad =\quad 0\\ =\quad { 1 }^{ 2 }-1\quad =\quad 0$$

La solución de límites por sustitución es sencilla, pero no todos los límites se pueden resolver de esta forma. Si al resolver un límite este nos da una indeterminación (0/0) se puede transformar la función en el límite de tal manera que algunas expresiones se puedan simplificar.

• $$\lim _{ x→{ { 1 } } }{ f(x) } \quad \frac { x-1-1 }{ { x }^{ 2 }-1 } =\frac { 1-1 }{ 1-1 } =\quad \frac { 0 }{ 0 } \\ \\ \lim _{ x→{ { 1 } } }{ f(x) } \quad \frac { (x-1) }{ (x+1)(x-1) } =\\ \\ \lim _{ x→{ { 1 } } }{ f(x) } \quad \frac { 1 }{ x+1 } \quad =\quad \frac { 1 }{ 2 }$$

• $$\lim _{ x→{ { 2 } } }{ f(x) } \quad \frac { { x }^{ 2 }+x-6 }{ { x }-2 } =\frac { { 2 }^{ 2 }+2-6 }{ 2-2 } =\quad \frac { 0 }{ 0 } \\ \\ \lim _{ x→{ { 2 } } }{ f(x) } \quad \frac { (x+3)(x-2) }{ x-2 } =\\ \\ \lim _{ x→{ { 2 } } }{ f(x) } \quad x+3\quad =\quad 5$$

• $$\lim _{ t→{ { 0 } } }{ f(x) } \quad \frac { \sqrt { { t }^{ 2 }+9 } }{ { t }^{ 2 } } -3=\quad \frac { 0 }{ 0 } \\ \\ \lim _{ t→{ { 0 } } }{ f(x) } \quad \frac { (\sqrt { { t }^{ 2 }+9 } -3)(\sqrt { { t }^{ 2 }+9 } +3) }{ { t }^{ 2 }(\sqrt { { t }^{ 2 }+9 } +3) } \\ \\ \lim _{ t→{ { 0 } } }{ f(x) } \quad \frac { (\sqrt { { t }^{ 2 }+9 } )^{ 2 }-(3)^{ 2 } }{ { t }^{ 2 }(\sqrt { { t }^{ 2 }+9 } +3) } \\ \\ \lim _{ t→{ { 0 } } }{ f(x) } \quad \frac { { t }^{ 2 }+9-9 }{ { t }^{ 2 }(\sqrt { { t }^{ 2 }+9 } +3) } \\ \\ \lim _{ t→{ { 0 } } }{ f(x) } \quad \frac { 1 }{ (\sqrt { { t }+9 } +3) } =\frac { 1 }{ 6 } \\$$

• $$\lim _{ x→{ { 9 } } }{ f(x) } \quad \frac { \cfrac { 1 }{ x } -\cfrac { 1 }{ 9 } }{ x9 } \quad =\quad \frac { 0 }{ 0 } \\ \\ \lim _{ x→{ { 9 } } }{ f(x) } \quad \frac { \cfrac { 9-x }{ x9 } }{ \cfrac { x-9 }{ 1 } } \\ \\ \lim _{ x→{ { 9 } } }{ f(x) } \quad \frac { 9-x }{ x9(x-9) } \\ \\ \lim _{ x→{ { 9 } } }{ f(x) } \quad \frac { (-9+x) }{ x9(x-9) } \\ \\ \lim _{ x→{ { 9 } } }{ f(x) } \quad \frac { 1 }{ x9 } \quad =\quad \frac { -1 }{ { 9 }^{ 2 } } \\ $$

Aquí presentamos un vídeo para mejor comprención